1.1.c.- Propriedades das operações (associativa, comutativa e distributiva)

 As propriedades das operações matemáticas — associativa, comutativa e distributiva — são fundamentais para entender como os números interagem entre si durante as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Vamos ver cada uma dessas propriedades em detalhes.

1. Propriedade Associativa

• Definição: A propriedade associativa afirma que a maneira como agrupamos os números não altera o resultado da operação. Essa propriedade se aplica à adição e multiplicação, mas não à subtração e divisão.
• Exemplos:
  • Adição: $(a+b)+c=a+(b+c)$
    • Exemplo: $(2+3)+4=2+(3+4)$
    • =>5+4=2+7
    • =>9=9
  • Multiplicação: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
    • Exemplo: $(2\times 3)\times 4=2\times (3\times 4)$
    • =>6x4=2x12
    • =>24=24
• Observação: Não se aplica à subtração e divisão. Por exemplo:
• (10−5)−2≠10−(5−2) 
• =>5-2≠10-3
• =>3≠7

• $≠20/(10/2)$
• =>2/2≠20/5
• =>1≠4

2. Propriedade Comutativa

• Definição: A propriedade comutativa afirma que a ordem dos números não altera o resultado da operação. Ela se aplica à adição e multiplicação, mas não à subtração e divisão.
• Exemplos:
  • Adição: $a+b=b+a$
    • Exemplo: $3+5=5+3=>=8$
  • Multiplicação: $a\times b=b\times a$
    • Exemplo: $4\times 6=6\times 4=>\mathrm{24=24}$
• Observação: Não se aplica à subtração e divisão. 
• Por exemplo, $≠-5$
• Por exemplo, $≠-1/2$

3. Propriedade Distributiva

• Definição: A propriedade distributiva conecta a multiplicação com a adição e a subtração. Ela afirma que multiplicar um número pela soma de outros dois é o mesmo que multiplicar cada um deles separadamente e depois somar os resultados.
• Exemplo:
  • Multiplicação sobre Adição: $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$
    • Exemplo: $3\times (4+5)=(3\times 4)+(3\times 5)$
    • =>3x9=12+15
    • =>27=27
  • Multiplicação sobre Subtração: $a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$
    • Exemplo: $3\times (7-2)=(3\times 7)-(3\times 2)$
    • =>3x5=21-6
    • =>15=15

Resumo das Propriedades

Propriedade	Definição	Operações que se aplicam	Exemplo
Associativa	O agrupamento dos números não altera o resultado	Adição, Multiplicação	$(a+b)+c=a+(b+c)<br>$
Comutativa	A ordem dos números não altera o resultado	Adição, Multiplicação	$a+b=b+a$ axb=bxa
Distributiva	Multiplicar um número pela soma é igual a multiplicar cada termo separadamente e somar	Multiplicação sobre Adição e Subtração	$ax(b-c)=ab-ac$

Essas propriedades são essenciais para simplificar expressões matemáticas e resolver problemas de maneira mais eficiente. Elas são amplamente usadas em álgebra e outras áreas da matemática para facilitar os cálculos.