2.- Fatores e múltiplos.

 2.a.- Divisibilidade.

Um número inteiro é considerado divisível por outro quando o resultado de sua divisão é um número inteiro, sem deixar resto. Se um número a é divisível por b, dizemos que b é um divisor de a.

Por exemplo:

• 8 é divisível por 4 (pois $8÷4=2$, um número inteiro).
• 15 é divisível por 3 e 5 (pois $15÷3=5$ e $15÷5=3$).

Regras de Divisibilidade

Algumas regras de divisibilidade ajudam a identificar divisores comuns:

• Divisível por 2: Todo número par (terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8) é divisível por 2.
• Divisível por 3: A soma dos dígitos do número é divisível por 3 (exemplo: 123 $1+2+3=6$, divisível por 3).
• Divisível por 5: Termina em 0 ou 5.
• Divisível por 10: Termina em 0.

Números Primos

Um número primo é um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo. Em outras palavras, um número é primo se ele não puder ser dividido de maneira exata por nenhum outro número além de 1 e de si próprio.

Por exemplo:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13 são números primos.
• 4, 6, 8, 9 não são primos, pois possuem outros divisores além de 1 e de si mesmos (exemplo: 4 é divisível por 2).

O número 2 é o único número primo par; todos os outros números primos são ímpares.

Números Compostos

Um número composto é um número natural maior que 1 que possui mais de dois divisores. Em outras palavras, ele pode ser dividido por outros números além de 1 e de si próprio.

Por exemplo:

• 4, 6, 8, 9, 10 são números compostos.

Importância dos Números Primos

Os números primos têm um papel central na matemática, especialmente na teoria dos números e na criptografia. Eles são considerados os “blocos de construção” dos números naturais, pois qualquer número inteiro maior que 1 pode ser decomposto de maneira única em um produto de números primos (fatoração em números primos).

2.b.- Mínimo múltiplo comum (MMC) e máximo divisor comum (MDC).

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles. Em outras palavras, é o menor número que pode ser dividido exatamente por cada um dos números dados.

Como Calcular o MMC

1. Fatoração: Fatorize os números, ou seja, escreva-os como produtos de números primos.
2. Escolha os fatores de maior potência: Para cada fator primo, escolha o maior expoente que aparece em qualquer uma das fatorações.
3. Multiplique os fatores escolhidos: O resultado é o MMC.

Exemplo

Calcule o MMC de 12 e 15.

1. Fatoração:
   • 12 = 2² × 3
   • 15 = 3 × 5
2. Escolha os maiores expoentes de cada fator primo:
   • 2² (de 12), 3¹ (aparece em ambos), e 5¹ (de 15)
3. Multiplique: $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

Então, o MMC de 12 e 15 é 60.

Máximo Divisor Comum (MDC)

O Máximo Divisor Comum de dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Em outras palavras, é o maior divisor comum a todos os números considerados.

Como Calcular o MDC

1. Fatoração: Fatorize os números.
2. Escolha os fatores de menor potência: Para cada fator primo comum aos números, escolha o menor expoente que aparece.
3. Multiplique os fatores escolhidos: O resultado é o MDC.

Exemplo

Calcule o MDC de 12 e 15.

1. Fatoração:
   • 12 = 2² × 3
   • 15 = 3 × 5
2. Escolha os fatores de menor potência comuns**:
   • Apenas o fator 3 é comum entre eles.
3. Multiplique: $3$

Então, o MDC de 12 e 15 é 3.

Aplicações do MMC e MDC

• MMC: É útil para encontrar denominadores comuns em frações, programar eventos repetitivos que precisam coincidir, etc.
• MDC: Usado para simplificar frações, resolver problemas de divisões de conjuntos, e em criptografia para garantir divisibilidade.