1.4.c.1- Proporções e suas aplicações. Introdução.

Proporções e suas aplicações são temas essenciais em matemática e muito úteis no dia a dia, especialmente nas áreas de finanças, ciências, engenharia, culinária e mais. Vamos ver o que são e como aplicá-las:

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📌 O que é proporção?

Uma proporção é a igualdade en tre duas razões.

Razão é uma comparação entre dois números por divisão.

Exemplo de razão:
Se uma sala tem 12 homens e 8 mulheres, a razão entre homens e mulheres é:

$$\frac{\mathrm{12/}}{8}=\frac{\mathrm{3/}}{\mathrm{2<span\; style="font-family:\; "Roboto\; Condensed";"></span>}}$$

Proporção:
Se temos $\frac{a}{b}= \frac{c}{\mathrm{d\; =>\; a/b\; =\; c/d }}$, dizemos que isso é uma proporção.

⚖️ Propriedade fundamental das proporções

Se:

$$\frac{\mathrm{a/}}{b}=\frac{\mathrm{c/}}{d}$$

então:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Essa é a regra do produto cruzado e serve para resolver a maioria dos problemas com proporções.

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🧠 Como aplicar proporções na prática

1. Regra de três simples

Quando três valores são conhecidos e se quer descobrir o quarto:

Exemplo:

1. Regra de três simples

Usamos quando 3 valores são conhecidos e 1 é desconhecido, e a relação é direta ou inversa.

a. Exemplo 1 (relação inversa):
Se 3 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias levarão 6 operários para fazer o mesmo muro?

Essa é uma relação inversamente proporcional (mais operários → menos dias).
Montagem:

Operários	Dias
3	12
6	x

RELAÇÃO INVERSA. AUMENTA A QUANTIDADE DE OPERÁRIOS, DIMINUI A QUANTIDADE DE DIAS. MULTIPLICA-SE HORIZONTAMENTE.

3⋅12= 6⋅x⇒ 36= 6x⇒36/6= x=> 6=x=> x=6

✅ Resposta: 6 dias.

b. Exemplo 2 (relação direta):

Se 4 laranjas custam R$ 8, quanto custam 10 laranjas?

$$\frac{\mathrm{4 \; \; }}{8}$$

$$10 \; x$$

$$<b\; style="font-family:\; "Times\; New\; Roman";"><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;"><br></span></b>$$

$$<b\; style="font-family:\; "Times\; New\; Roman";"><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;">RELAÇÃO\; DIRETA.\; AUMENTA\; A\; QUANTIDADE\; DE\; LARANJAS,\; AUMENTA\; O\; CUSTO\; TOTAL.\; MULTIPLICA-SE\; CRUZADO.</span></b>$$

$$\frac{\mathrm{<br>}}{}$$

$$\frac{\mathrm{4\; *\; x=\; 10\; *\; 8\; =>\; 4x=\; 80\; =>\; x=\; 80/4\; =>\; <b>x=\; 20</b>}}{}$$

Resposta: o custo de 10 laranjas é R$ 20,00.

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2. Escalas em mapas e plantas

Se um mapa tem escala 1:100.000, isso significa que 1 cm no mapa representa 100.000 cm (ou 1 km) na realidade.

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3. Receitas culinárias

Se uma receita para 2 pessoas leva 1 xícara de arroz, para 5 pessoas:

$$\frac{\mathrm{2 \; \; }}{1}$$

$$5 \; \; x$$

$$<br>$$

$$(direta)$$

$$<br>$$

$$2x= \frac{\mathrm{5\; =>\; x=\; 5/2\; =>\; x=\; 2,5}}{}$$

Resposta: Usa-se 2,5 xícaras de arroz para 5 pessoas.

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4. Conversão de moedas

Se 1 dólar = 5,20 reais, quanto valem 250 dólares?

$$\frac{\mathrm{(direta)}}{}$$

$$\frac{\mathrm{ \; 1 \; \; \; }}{5,20}$$

$$250 \; \; \; \; x$$

$$<br>$$

$$1x=\; 250\; x\; 5,20\; =>\; x=\; 250\; x\; 5,20\; =>\; x\; =\; R\$\; 1300,00.$$

$$<br>$$

$$<b>Resposta:\; </b>250\; dólares\; valem\; R\$\; 1300,00.$$

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5. Consumo de combustível

Um carro faz 12 km/l. Quantos litros são necessários para percorrer 300 km?

(direta)

12        1

300      x

$$\frac{\mathrm{12x}}{}=\frac{\mathrm{300 }}{}\Rightarrow \; x=\; 300/12\; =>\; x=\; 25$$

$$<br>$$

$$$$Resposta: 25 litros são necessarios para percorrer 300 kms.

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🔢 Exercício resolvido

(1) Uma torneira enche um tanque de 500 litros em 40 minutos. Quantos minutos leva para encher 875 litros?

$$\frac{\mathrm{direta.}}{}$$

$$\frac{\mathrm{<br>}}{}$$

$$\frac{\mathrm{500\; l \; \; \; \; 40\; m}}{}$$

$$\frac{\mathrm{875\; l \; \; \; \; X}}{}$$

$$\frac{\mathrm{<br>}}{}$$

$$\frac{\mathrm{500x=\; 875\; x\; 40\; =>\; 500x=\; 35\; 000\; =>\; x=\; 35\; 000/\; 500\; =>\; x\; =\; 70}}{}$$

70 minutos.

Resposta: Para encher 875 litros leva 70 minutos.

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✅ Resumo

• Proporções comparam razões.

• A propriedade fundamental permite resolver problemas práticos.

• Usadas em várias áreas da vida real.

• Base da regra de três (simples ou composta).

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REVISADO