1.4.c.4. Aqui estão 5 exercícios mais desafiadores de regra de três composta com gabarito.

RECORDATORIO:

LA FÓRMULA É:

Para grandezas diretas:

$$\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Fra</span></b>}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ç</span></b>}}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ã</span></b>}}\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">o</span></b>}<b><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;\; font-size:\; medium;">= </span></b>\frac{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Novo valor/</span></b>}}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Valor original</span></b>}}$$

Para grandezas inversas:

$$\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Fra</span></b>}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ç</span></b>}}\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ão</span></b>}<b><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;\; font-size:\; medium;">= </span></b>\frac{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Valor original/</span></b>}}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Novo valor</span></b>}}$$

Lista de 5 exercícios de regra de três composta, mas um pouco mais difícil e criativa, misturando grandezas inversamente proporcionais. Isso ajuda muito a treinar mesmo.

Vamos aumentar um pouco a dificuldade, incluindo grandezas inversamente proporcionais junto com as diretamente proporcionais. 

Aqui estão 5 exercícios mais desafiadores de regra de três composta com gabarito:

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Exercício 1

8 operários constroem um muro em 12 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se forem 12 operários e a jornada diária aumentar para 8 horas, em quantos dias o muro será construído?

Solução:

• Dias: incognita. 

• Operários (oper): inversamente proporcional (mais operários → menos dias)

• Horas por dia (h/d): inversamente prporcional (mais horas por dia--> menos dias).

            dias         oper         h/d        

               x            12              8

              12           8                6

x/12= 8/12*6/8=> x/12= (8*6)/(12*8)=> x/12= 48/96=> x/12= 1/2=> x= 12*1/2

=> x= 6.

Resposta: 12 operáios trabalhando 8 horas por dia construirão o muro em 6 dias.

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Exercício 2

5 máquinas produzem 200 peças em 10 horas de trabalho. Se a produção precisa ser de 300 peças em 8 horas, quantas máquinas são necessárias?

Solução:

• máquinas: incógnitas.

• Peças: direta proporcional (mais máquinas mais peças).

• Horas: inversa proporcional (menos horas → mais máquinas)

            máq        peças        horas

            x                300            8

            5                200           10

            

Resolvendo:

x/5= 300/200*10/8=> x/5= (300*10)/(200*8)=> x/5= 3 000/1600=> x/5= 75/40=> x= 5*75/40

=> 375/40=> x= 9,375.

Como não é possível cortar las máquinas, arredondo para 10.

Resposta: para produzir 300 peças em 8 horas serão necessárias 10 máquinas.

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Exercício 3

6 pessoas podem limpar um prédio em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia. Se o prédio precisar ser limpo em 10 dias, com jornada diária de 5 horas, quantas pessoas serão necessárias?

Solução:

• pessoas: incógnita.

• dias: inversamente proporcional (mais dias--> menos pessoas).

• horas/dia (h/d): inversamente proporcional (mais horas/dia → menos pessoas).

            pessoas        dias            h/d

            x                       10             5

            6                       15             4

            

x/6= 15/10*4/5=> x/6= (15*4)/(10*5)=> x/6= 60/50=> x/6= 6/5=> x= 6*6/5=> x= 36/5=> x= 7,2

Como não é possível fracionar pessoas, arredondo para 8.

Resposta: para limpar um predio em 10 dias, trabalhando 5 horas por dia são necessárias 8 pessoas.

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Exercício 4

10 impressoras imprimem 6000 folhas em 5 horas. Quantas impressoras seriam necessárias para imprimir 9000 folhas em 6 horas?

Solução:

• impressoras: incógnita.

• folhas: diretamente proporcional, (mais impressoras--> mais folhas impressas).

• horas: inversamente proporcional, (mais impressoras → menos horas).

            impressoras        folhas            horas

                    x                    9 000              6

                   10                   6 000              5

                    

x/10= (9000/6000)*(5/6)=> x/10= (9/6)*(5/6)=> x/10= (9*5)/(6*6)=> x/10= 45/36=> x/10= 5/4

=> x= 10*5/4=> x= 50/4=> x= 12,5.

Como não é possível fracionar impressoras, arredondo para 13.

Resposta: para imprimir 9 000 folhas em 6 horas são necessárias 13 impressoras.

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Exercício 5

Um grupo de 12 trabalhadores constrói uma estrada de 360 km em 60 dias, trabalhando 7 horas por dia. Se o trabalho precisa ser concluído em 40 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos trabalhadores serão necessários?

Solução:

• trabalhadores: incógnita.

• kms: constante.

• dias: inversamente proporcional (mais dias --> menos trabalhadores).

• h/d: inversamente poporcional (mais h/d--> menos trabalhadores).

trab.        kms            dias        h/d

x               360            40            8

12            360             60            7

x/12= 60/40*7/8=> x/12= 3/2*7/8=> x/12= (3*7)/2*8=> x/12= 21/16=> x=12*21/16=> x= 252/16

=> x= 15,75.

Arredondo para 16 trabalhadores.

Resposta: para construir 360 kms de estrada em 40 dias, trabalhando 8 horas por dia são necessários 16 trabalhadores.

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REVISADO

Rolex.

• Em 2022, o valor da marca Rolex foi estimado em cerca de US$ 8,3 bilhões.
• A receita anual de Rolex também é alta — valores da ordem de CHF 10,5 bilhões (francos suíços) para 2024, de acordo com relatórios suíços de mercado de relógios.
• Em termos de produção, estima‑se que a Rolex fabrica cerca de 1,1 a 1,2 milhões de relógios por ano.

VALOR DE MERCADO DA ROLEX HOJE 1945.- Apresenta o modelo Datejust. Primeiro relógio de pulso automâtico com indicação dadata no mostrador.

 1947.- As vendas dobrarm. Alcançando 100 000 cronômetros certificados.

1953. Lança o Rolex SUBMARINER. Foi o primeiro relógio de pulso a prova de água para mergulho profundo. Capaz de atingir 100 metros de profundidade no oceano sem perder a sua funcionalidade.

1955. Apresenta o Rolex DAY-DATE. Primeiro rel[ogio de pulso automâtico a incluir tanto a data como o di da seemana.

1960. Morre Hans Wilsdorf.

Depois disso a empresa focou seu marketing em tornar seus relógios exclusivos para a alta sociedade.

1.4.c.3.- Regra de três composta... Solução passo a passo dos exercícios do capítulo 1.4.c.2.

 

✅ Regra de Três Composta

A regra de três composta é usada quando três ou mais grandezas estão relacionadas, e queremos descobrir um valor desconhecido entre elas.

LA FÓRMULA É:

Para grandezas diretas:

$$\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Fra</span></b>}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ç</span></b>}}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ã</span></b>}}\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">o</span></b>}<b><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;\; font-size:\; medium;">= </span></b>\frac{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Novo valor/</span></b>}}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Valor original</span></b>}}$$

Para grandezas inversas:

$$\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Fra</span></b>}\stackrel{}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ç</span></b>}}\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">ão</span></b>}<b><span\; style="font-family:\; Roboto\; Condensed;\; font-size:\; medium;">= </span></b>\frac{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Valor original/</span></b>}}{\text{<b><span style="font-family: Roboto Condensed; font-size: medium;">Novo valor</span></b>}}$$

---

📌 Passo a passo da Regra de Três Composta:

1. Monte a tabela com todas as grandezas envolvidas (tempo, pessoas, produção, etc.).

2. Identifique a grandeza que contém o valor que você quer descobrir.

3. Analise se cada grandeza é diretamente ou inversamente proporcional em relação à que contém o valor desconhecido.

4. Multiplique os valores em forma de fração (direta → mantém; inversa → inverte).

5. Resolva a equação.

---

Exercício 1.

Três máquinas trabalhando 8 horas por dia produzem 480 peças em 6 dias. Quantas peças 4 máquinas produziriam em 9 dias, trabalhando 10 horas por dia?

Solução:

• Grandezas:

  • Número de máquinas: direta.

  • Horas de trabalho: direta.

  • Dias de trabalho: direta.

• Solução.

    MAQ           H             PEÇAS            D

        3            8                480                6

        4            10                x                   9

        

        3/4 * 8/10 * 6/9= 480/x=> 3*8*6/4*10*9= 480/x=> 144/360= 480/x=> 144x= 360*480

        => 144x = 172 800=> x= 172 800/144

        => x= 1 200

• Resposta: 4 máquinas, em 9 dias, trabalhando 10 horas por dia produzirao 1 200 peças.

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Exercício 2

5 pintores conseguem pintar 12 casas em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas casas 8 pintores conseguiriam pintar em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?

• Proporcionalidades:

  • Número de pintores: direta

  • Número de dias: direta

  • Horas por dia: direta

PINTORES         CASAS        DIAS        H/D

        5                    12                15            6

        8                    x                   10            8

    

        5/8 *15/10 *6/8= 12/x=> 5*15*6/ 8*10*8= 12/x=> 450/640= 12/x=> 450x= 640*12=> 450x= 7 680 

        => x= 7 680/450=> x=17,06

        => x= 17. 

• Resposta: 8 pintores, trabalhando 8 horas por dia durante 10 dias pintarão 17 casas.

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Exercício 3

Uma frota de 10 caminhões transporta 500 toneladas de areia em 4 dias, trabalhando 8 horas por dia. Quantas toneladas uma frota de 15 caminhões transportaria em 5 dias, trabalhando 10 horas por dia?

• Proporcionalidades:

• caminhões (CAM): direta

• dias (dias): direta

• horas por dia (H/D): direta

CAM    DIAS    H/D        TON

    10      4           8          500

    15      5         10            x

    10/15*4/5*8/10= 500/x=> 10*4*8/ 15*5*10= 500/x=> 320/750= 500/x=> 320x= 750*500

    => 320x= 375 000=> x= 375 000/320

    => x= 1 171

Resposta: 15 caminhões trabalhando 16 horas diária durante 5 dias transportarão 1 171 toneladas de areia.

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Exercício 4.

4 máquinas produzem 360 peças em 9 dias, trabalhando 7 horas por dia. Quantas máquinas seriam necessárias para produzir 600 peças em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia?

• Proporcionalidades:

• dias (DIAS): direta

• horas por dia (H/D): direta

• máquinas (MAQ): direta

• Solução:

    PEÇ        DIAS        H/D        MAQ

    360           9              7              4

    600            6             8              x

    360/600=  9/6*7/8*4/x => 360/600= 9*7*4/6*8*x=> 6/10= 252/ 48x=> 6*48x= 10*252

    => 288x= 2 520=> x= 2 520/288}=> x= 8,75

    => x= 9

Resposta: para produzir 600 peças em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia serão necessárias 9 máquinas.

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Exercício 5.

Um grupo de 6 trabalhadores constrói 180 m² de piso em 5 dias, trabalhando 7 horas por dia. Quantos m² seriam construídos por 10 trabalhadores em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia?

• Proporcionalidades: 

• Incógnita: m2.

• trabalhadores: direta

• dias: direta

• h/dia: direta

• Solução:

            trab.        m2            dias            h/d

             6            180              5                7

             10            x                8                6

            6/10*5/8*7/6= 180/x=> 6*5*7/10*8*6= 180/x=> 210/480= 180/x=> 70/160=180/x=>

            35/80= 180/x=> 80*180= 35x=> 14 400/ 35= x=> 411,4= x

• Resposta: 10 trablhadores, trabalhando 6 horas diaris durante 8 dias constuirão 411,4 m2 de piso.     

Escritores.

1.  Albert Camus.
2. Alberto Moravia.
3. Alejo Carpentier.
4. Aleksander Sierguéievitch Púchkin. 
5. Alexandre Dumas.
6. Alexandre Dumas Filho.
7. Alexandre Herculano.
8. Aldous Leonard Huxley.
9. Almeida Garrett.
10. Anton Tchekhov.
11. Arthur Schnitzler.
12. Augusto Roa Bastos.
13. Bram Stocker.
14. Camilo Castelo Branco.
15. Carlos Fuentes.
16. Charles Dickens.
17. Charlotte Bronte.
18. Chorderlos de Laclos. "As Ligações Perigosas" (em francês: Les Liaisons dangereuses, 1782)
19. Clarice Lispector.
20. D H. Lawrence.
21. Daniel Defoe. "Robinson Crusoé" (1719).
22. Domingo Faustino Sarmiento.
23. Edgar Allan Poe.
24. Edward Morgan Forster.
25. Emily Bronte.
26. Émile Zola.
27. Ernest Hemingway.
28. Ernesto Sabato.
29. Euclides Da Cunha.
30. Fiódor Dostoiéski.
31. François Rabelais.
32. Franz Kafka.
33. Jose Maria Eça de Queiroz. 
34. Margot Lee Shetterly.

1.4.c.2.- 10 exercícios sobre proporções com foco em aplicações práticas (regra de três simples) e com gabarito ao final.

10 exercícios sobre proporções com foco em aplicações práticas (regra de três simples) e com gabarito ao final.

1. Receita culinária

Uma receita precisa de 3 ovos para fazer um bolo para 6 pessoas. Quantos ovos são necessários para servir 10 pessoas?

---

2. Pintura

Um pintor usa 5 litros de tinta para pintar 60 m² de parede. Quantos litros ele usará para pintar 180 m²?

---

3. Velocidade

Um carro percorre 200 km com 25 litros de gasolina. Quantos quilômetros ele faz com 40 litros?

---

4. Tempo de trabalho

3 operários constroem um muro em 12 dias. Quantos dias levarão 6 operários, com mesma eficiência, para fazer o mesmo muro?

---

5. Moeda

Se 1 dólar vale R$ 5,30, quanto valem 420 dólares?

---

6. Salário proporcional

Um funcionário que trabalha 8 horas por dia recebe R$ 2.400,00 por mês. Qual será o salário se ele passar a trabalhar 6 horas por dia, mantendo a mesma taxa por hora?

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7. Escala de mapa

Em um mapa com escala 1:100.000, uma estrada mede 7,2 cm. Qual o comprimento real da estrada?

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8. Produto

Um pacote com 3 kg de arroz custa R$ 21,00. Quanto custa um pacote com 5 kg?

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9. Consumo de água

Uma torneira fornece 15 litros de água em 5 minutos. Quantos litros ela fornece em 12 minutos?

---

10. População

Uma cidade com 120 mil habitantes teve 1.800 casos de uma doença. Quantos casos seriam esperados em uma cidade com 200 mil habitantes, se a proporção se mantiver?

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✅ Gabarito

1. 5 ovos. Serão necessários 5 ovos para fazer um bolo para 10 pessoas.

2. 15 litros. Serão necessários 15 litros de tinta para pintar 180 m2 de parede.

3. 320 km. O carro faz 320 kms com 40 litros de gasolina.

4. 6 dias. 6 operários construirão o mesmo muro em 6 dias.

5. R$ 2.226,00. 420 dólares custam R$ 2226,00.

6. R$ 1.800,00. O salário por trabalhar 6 horas será de R$ 1800,00.

7. 7,2 km (ou 720.000 cm = 7.200 m = 7,2 km). O comprimento real da estrada é de 7,2 kms.

8. R$ 35,00. m pacote de arroz com 5 kgs custa R$ 35,00.

9. 36 litros. Ela fornece 36 litros de água em 12 minutos.

10. 3.000 casos. Em uma cidade com 200 000 habitantes seriam esperados 3 000 casos.

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Solução passo a passo no 1.4.c.3

REVISADO.

Paula Lopes

A ex-secretária da causa animal de Canoas, Paula Lopes, está sendo investigada pela Polícia Civil por suspeita de maus-tratos a animais e estelionato. 

A denúncia resultou na Operação Carrasco, foi baseada em uma série de denúncias que começaram em abril deste ano. A operação, realizada na manhã desta quinta-feira 04/09/2025, cumpriu seis mandados de busca e apreensão em Canoas, Porto Alegre e Arroio dos Ratos, municípios da Região Metropolitana. 

A investigação apura que Lopes teria utilizado sua posição no governo municipal para matar de forma indiscriminada dezenas de animais, além de desviar recursos da ONG que fundou, o Instituto Paula Lopes.

Segundo a delegada Luciane Bertoletti, da 3ª Delegacia de Polícia de Canoas a ex-secretária é responsável por, no mínimo, 239 eutanásias realizadas de maneira excessiva em um período de oito meses. “Diversas denúncias de pessoas que trabalhavam dentro da Secretaria do Bem-Estar Animal davam conta de uma matança indiscriminada de animais na secretaria. Essas pessoas tiraram fotos deles em sacos que estavam acondicionados ali mesmo”, explicou Bertoletti. 

Durante a operação, foram encontrados pelo menos 14 animais mortos guardados em sacos plásticos dentro de um freezer, além de gatos mantidos em condições precárias em gaiolas dentro de um container fechado e sem ventilação.

Além da acusação de eutanásia em excesso, Paula Lopes também é investigada por estelionato. Segundo a Polícia Civil, ela usaria a chave Pix do Instituto Paula Lopes para desviar recursos de campanhas de arrecadação destinadas ao resgate de animais. A ex-secretária teria recebido valores para cuidar de bichos, mas indícios apontam que ela não utilizava o dinheiro para os cuidados adequados, sendo que alguns animais foram encontrados mortos, mesmo tendo sido resgatados da rua. A investigação também revelou que Lopes mantinha um grande montante em dinheiro vivo. “Foram encontrados cerca de R$ 100 mil em espécie na casa dela”, informou a delegada.

Lopes, que foi exonerada do cargo em agosto deste ano, defende-se das acusações, alegando que as denúncias são infundadas. Em vídeos publicados em seu Instagram, ela afirmou que as alegações fazem parte de um “reflexo da política” e se disse comprometida com a causa animal. “O meu único objetivo vai ser sempre ajudar os animais”, afirmou em um dos vídeos. A ex-secretária ainda mencionou que, no passado, foi alvo de outras denúncias que não resultaram em acusações. “Eu percebo que, na verdade, ela recolhe bichos justamente para ganhar um dinheiro em cima desses animais”, afirma a delegada, que questiona as condições em que os animais eram mantidos.

 

Trump quer regras eleitorais válidas para todo o território dos Estados Unidos.

O presidente Donald Trump declarou na noite deste sábado, 30, que deve emitir um decreto para mudar algumas regras eleitorais dos Estados Unidos. A nova legislação seria válida em todo o território nacional. Além de defender a apresentação obrigatória de um documento de identificação na hora do voto pelos eleitores, o republicano afirmou que pretende restringir os casos onde o voto por correspondência é permitido.

“O documento de identificação deve ser apresentado por cada um que votar. Sem exceções! Vou emitir um decreto que torna esse documento uma obrigação. Além disso, nada de voto por correspondência, exceto para aqueles que estão muito doentes e para os militares que estão distantes. Vamos utilizar somente cédulas eleitorais”, escreveu. O comunicado foi feito via publicação na Truth Social.

Nem todos os estados do país exigem a apresentação de um documento por parte dos eleitores na hora da votação. Essa identificação por ser oficial ou não e, ainda, com ou sem foto. Em catorze estados* e na capital federal, Washington D.C., não é exigida documentação alguma.

Cada estado também define suas próprias regras para o voto por correspondência, mas uma justificativa válida pode ser exigida ao eleitor. A maioria inclui a impossibilidade de comparecer ao local de votação por doença, lesão ou deficiência; estar em viagem de negócios ou férias fora do município ou cidade de residência no dia da eleição ou ser estudante de uma faculdade ou universidade fora do estado.